“圓錐的體積”教學(xué)實錄

“圓錐的體積”教學(xué)實錄1

　　一、創(chuàng)設(shè)情境。

　　1、先由電腦屏幕分別顯示長方形、直角三角形。

　　師：如果分別以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周將會得到什么形體？

　　生：長方形以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周將會得到圓柱體，直角三角形以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周將會得到圓錐體。

　　電腦作旋轉(zhuǎn)演示以驗證。

　　師：請同學(xué)們仔細觀察，找一找圓錐的特征。

　　生：圓錐的底面是圓形，有一個頂點，只有一條高。

　　師：你能說說什么是圓錐的高嗎？

　　生：從頂點到底面圓心的線段就是圓錐的高。（電腦顯示“高”）

　　2、電腦顯示：將圓錐甲的高升高，得到圓錐乙；再將圓錐甲的底面擴大得到圓錐丙。

　　師：三個圓錐中哪個的體積最小？

　　生：圓錐甲的體積最小。

　　師：哪個圓錐的體積最大呢？

　　（由于很難比較，學(xué)生之間產(chǎn)生了分歧。）

　　師：看來要想比較出乙、丙兩個圓錐體積的大小，必須求出它們的體積各是多少。

　　二、探究發(fā)現(xiàn)。

　　師：你覺得圓錐體積的大小與它的什么有關(guān)？

　　生：我覺得與它的底面積和高都有關(guān)系。

　　師：大家同意這個意見嗎？

　　生：同意。

　　師：你能想辦法自己去發(fā)現(xiàn)圓錐體積的計算方法嗎？

　�。ㄔ趯W(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上，小組內(nèi)進行交流討論，然后全班交流）

　　生1：我覺得可以做一個試驗，找一個空心兒的圓錐和圓柱，先往圓錐里裝滿沙子，再倒到圓柱里，看倒幾次能倒?jié)M，就能算出圓錐的體積。

　　師：誰聽懂他的意思了？能再解釋得清楚些嗎？

　　生2：他的意思是做一個倒沙子的試驗，看圓錐體積是圓柱體積的幾分之一，因為我們已經(jīng)知道了圓柱的體積公式，就能求出圓錐的體積了。

　　生3：我覺得不用這么麻煩。因為直角三角形的面積是長方形的一半，三角形旋轉(zhuǎn)得圓錐，長方形旋轉(zhuǎn)得圓柱，所以圓錐體積是圓柱體積的二分之一。

　　生4：不對，應(yīng)該是三分之一。

　　生5：我覺得圓錐體積不是圓柱體積的二分之一，因為兩個同樣的圓錐倒過來拼不成一個圓柱，中間有凹進去的。

　　師：那你覺得圓錐體積是圓柱體積的幾分之幾？

　　生5：我也不知道是幾分之幾，可能是三分之一吧。

　　眾學(xué)生紛紛發(fā)表自己的意見……

　　師：看來大家的意見不盡一致，但基本的想法是相同的，大家都想到了我們學(xué)過的——

　　生：圓柱。

　　師：我們都想找到圓錐體積與圓柱體積之間的關(guān)系，再運用舊知識來獲得新知識，這是一個很重要的學(xué)習(xí)策略。那么，如果找到了圓柱與圓錐之間的關(guān)系，你們準備怎樣計算圓錐的體積？

　　生：用底面積乘高，再乘倍數(shù)。（師板書：圓錐體積=底面積×高×？）

　　師：這里的底面積乘高計算的其實是什么？

　　生：圓柱的體積。

　　師：你們所說的圓柱，是個怎樣的圓柱？（故意讓電腦顯示不等底等高的圓柱讓學(xué)生辨認。）

　　生：不是這樣的。

　　師：為什么？

　　生：如果這樣，它們就沒有可比性。

　�。ㄔ亠@示出與圓錐等底等高的圓柱。）

　　師：是這樣與圓錐等底等高的圓柱嗎？

　　生：是。

　　師：實踐是檢驗真理的唯一標準。下面我們就按剛才同學(xué)說的方法來做倒水的試驗。

　　生：老師，得先看看圓柱和圓錐是不是等底等高的。

　　師：有沒有道理？

　　生：有。否則就沒有可比性。

　　請兩名學(xué)生到講臺上演示“倒水”實驗。發(fā)現(xiàn)倒三次并不正好倒?jié)M圓柱，分析實驗誤差的原因。

　　師：通過實驗，我們能得出什么結(jié)論？

　　生：圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

　　生：還得補上“和它等底等高”這一前提條件。（師板書：等底等高）

　　師：那么圓錐體積的計算公式就是——

　　生：圓錐的體積=底面積×高×1/3

　　師：用字母表示就是——

　　生：V=1/3sh（板書）

　　師：通過實驗得出的結(jié)論應(yīng)該是準確無誤的，但剛才生3的想法“因為直角三角形的面積是長方形的`一半，三角形旋轉(zhuǎn)得圓錐，長方形旋轉(zhuǎn)得圓柱，所以圓錐體積是圓柱體積的二分之一。”錯在哪兒呢？

　　學(xué)生又一次陷入困惑。

　　師：其實，這涉及到更高一級的數(shù)學(xué)知識。直線疊加和旋轉(zhuǎn)疊加是不同的，（演示）直線疊加兩端同時增厚，而旋轉(zhuǎn)疊加一端增厚，沿軸的一端厚度卻一直沒有變化。剛才生3的說法適合直線疊加，但不適合旋轉(zhuǎn)疊加，因為有一部分被互相‘擠’掉了。

　　生：哦，我明白了！用面的方法思考體，是不周到的。

　　三、應(yīng)用練習(xí)。

　　1、想一想，填一填。

　　（1）一個圓柱和一個圓錐等底等高，如果圓錐的體積是2。4立方分米，則圓柱的體積是（）立方分米。如果圓柱的體積是2。4立方分米，則圓錐的體積是（）立方分米。

　　（2）把一個體積是36立方分米的圓柱體，削去（）立方分米才能削成一個最大的圓錐體。

　　學(xué)生獨立思考，全班交流、反饋。

　　2、一個圓錐形的麥堆，底面直徑是4米，高1。2米，如果每立方米小麥重500千克，那么這堆小麥重多少千克？

　　學(xué)生獨立練習(xí)，個別演板，集體評議、反饋。

　　四、總結(jié)

　　想一想：這節(jié)課我們是怎樣推導(dǎo)出圓錐體積公式的？你從中學(xué)到些什么？

　　課下思考：一個直角三角形的三條邊分別為3米、4米、5米，怎樣旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓錐體的體積最大？用計算來說明。

“圓錐的體積”教學(xué)實錄2

　　教學(xué)目標：

　　1．通過動手操作實驗發(fā)現(xiàn)等底等高的圓柱、圓錐體積之間的關(guān)系，從而得出圓錐體積的計算公式。

　　2．能用公式解答有關(guān)實際問題。

　　3．培養(yǎng)動手能力和探索意識。

　　教學(xué)重點：發(fā)現(xiàn)關(guān)系，得出公式。

　　教學(xué)難點：發(fā)現(xiàn)關(guān)系。

　　教學(xué)準備：多媒體課件。圓柱、圓錐教具，大米。

　　教學(xué)過程：

　　一、導(dǎo)入

　　1．我們認識了圓錐，誰來向大家介紹一下圓錐的各部分及其特征。（圓錐的底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面。）什么是圓錐的高？（從圓錐頂點到底面圓心的距離叫圓錐的高）。生活中你見過哪些物體的形狀是圓錐體的？

　　2．師：如果要把一根底面直徑是10厘米、長30厘米的圓柱形木料，加工成底面直徑是10厘米、高15厘米的圓錐。想一想，該怎么辦？課件演示:

　　（1）先在木料上截取長15厘米的一段。

　　（2）設(shè)法在橫截面上找出圓心，即圓錐的頂點。

　�。�3）從頂點到下底面削去多余的部分就可制成一個圓錐了。

　　比一比：制成的圓錐的底面積與截取圓柱的底面積有什么關(guān)系？（相等）制成的

　　圓錐的高與截取圓柱的高有什么關(guān)系？（相等）

　　師：也就是說制成的圓錐與截取圓柱是等底等高的。估計一下，制成的圓錐的體

　　積與截取圓柱的體積有怎樣的關(guān)系？（1/2、1/3，圓錐比圓柱體積小……）

　　師：同學(xué)們的估計對不對呢？我們一起來研究“圓錐的體積”。（板書課題）

　　[評析：教師從把圓柱形木料加工成圓錐的實際問題出發(fā)引入新課，別具匠心。目

　　的有二：一是把新知（圓錐）與舊知（圓柱）聯(lián)系起來，為探索活動定向；二是凸現(xiàn)

　　等底等高現(xiàn)象，為圓錐體積學(xué)習(xí)先做準備。]

　　二、探索新知

　　l．出示圓錐：什么是物體的體積？什么是圓錐的體積？（圓錐所占空間的大小叫做圓錐的體積）。

　　根據(jù)以前的知識要求出這個圓錐的體積有什么辦法？（把圓錐浸沒在裝有水的長方體、正方體或圓柱體容器中，看水面上升的高度，計算出上升的那一部分水的體積，就是這個圓錐的體積）（把圓錐看成一個容器，倒入水，再把水倒人量杯中，水的體積就是圓錐的體積）……

　　師：這些想法都很好，但有一定的局限性，我們要找一種計算圓錐體積的方法。想一想能不能找到圓錐與以前學(xué)過的某種立體圖形的體積之間的聯(lián)系來發(fā)現(xiàn)圓錐體積的計算方法。

　　[評析：教師在這兒強化體和概念很有必要，避免了把教學(xué)活動在單純指導(dǎo)體積公式上面。“怎樣求圓錐的體積？”是一個開放問題，學(xué)生提出的多種方法更強化了體積意義的認識，有利于空間觀念的形成。]

　　2．討論：（1）我們以前學(xué)過哪幾種立體圖形？拿哪種立體圖形來幫助研究圓錐的體積更合適？為什么？（因為圓錐有一個圓形底面和一個側(cè)面是曲面，圓柱也有一個圓形的底面和一個側(cè)面也是曲面，用圓柱幫助研究圓錐更方便。）

　　（2）出示4個圓柱、1個圓錐。

　　師：這里有4個圓柱，選哪一個來幫助研究圓錐的體積呢？演示比較：圓柱與圓錐等底等高，等底不等高，等高不等底，既不等底又不等高。（選等底等高的圓柱與圓錐研究更便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。）

　　（3）出示等底等高的圓柱與圓錐以及一小袋大米，想一想，利用這些材料，你能設(shè)計一個實驗來研究圓錐的體積嗎？

　　圓柱、圓錐學(xué)具都是容器，通過研究容積的實驗來得出體積的計算公式。

　�。墼u析：教師沒有把教學(xué)活動簡單推向具體的實驗操作上面，而在前面組織了兩個層次的討論，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識；提高探索策略的合理性。教師組織對“體積”和“容積”兩個概念的辨析，更使概念準確、嚴謹，提高了課堂教學(xué)的科學(xué)性。

　　3．動手實驗：二人一組進行操作，注意觀察實驗過程。

　　4．匯報操作過程：往空圓錐里裝滿米然后倒人空圓柱里倒了三次正好倒?jié)M。

　　發(fā)現(xiàn)了什么？（圓柱體積是和它等底等高的圓錐體積的3倍，圓錐體積是和它等底等高的圓柱體積的1/3。）

　　（學(xué)生說圓柱體積是圓錐體積的3倍，師出示不等底等高的圓錐、圓柱，問：圓柱體積還是圓錐體積的3倍嗎？）

　　根據(jù)學(xué)生回答師板書：V錐=1/3V柱

　　[評析：讓學(xué)生放手操作比單純看書、聽講更有利于知識的內(nèi)化，這也就是當前流行的“做教學(xué)”的思想。值得一提的是，在教具、學(xué)具日趨高檔化的情況下，組織學(xué)生因陋就簡就地取材，進行剪一剪、拼一排、移一移、倒一倒等操作活動效果明顯，值得提倡。]

　　練習(xí)：根據(jù)已知圓柱（或圓錐）的'體積，求出與它等底等高的圓錐（或圓柱）的體積。

　　師：根據(jù)已知圓柱的體積，乘以1/3就可求出與它等底等高的圓錐的體積，如果圓柱的體積不是直接已知的，你能求出圓錐的體積嗎？

　　也就是可以利用圓柱體積公式“V柱=Sh”得出圓錐體積公式“V錐=1/3Sh”。

　　5．出示例1：一個圓錐形的零件，底面積是19平方厘米，高是12厘米，這個零件的體積是多少？

　　師：要求圓錐體積可以用V =1/3Sh，你會求嗎？（學(xué)生嘗試，師巡視）

　　匯報： 1/3×19×12=76（立方厘米）

　　答：這個零件的體積是76立方厘米。

　　“19×l2”求出的是什么？為什么要“×1/3”。

　　三、鞏固應(yīng)用

　　l師：要求圓錐的體積必須知道底面積和高，如果底面積不是直接已知，還會求圓錐的體積嗎？

　　求下列圓錐的體積：（板演訂正）

　　底面半徑是4厘米、高21厘米。

　　底面半徑是6厘米、高6分米。

　　底面周長是18.34分米、高2分米。

　　2．填空：

　�。�1）圓柱圓錐等底等高，圓柱體積是87立方厘米，圓錐體積是（ ）立方厘米。若圓錐的體積是34立方厘米，圓柱體積是（ ）立方厘米。

　�。�2）一個底面積是12平方分米、高6分米的圓柱，它的體積是（ ）立方分米。如果把它削成一個最大的圓錐，圓錐的體積是（ ）。削去部分的體積是（ ），削去部分的體積是圓柱體積的（ ），是圓錐體積的（ ）。

　　（3）一個圓柱與圓錐等底等高，圓柱體積比圓錐多18立方米，圓柱體積是〔 〕，圓錐體積是（ ）。

　　3．判斷：

　�。╨）圓錐體積是圓柱體積的1/3。

　�。�2）如果圓柱圓錐等底等高，圓柱體積是圓錐的3倍，圓錐體積是圓柱體積的2/3。

　�。�3）圓錐的底面積是3平方厘米，體積是6立方厘米。

　�。�4）等底等高的圓柱與圓錐，圓錐體積比圓柱體積小2/3。

　　4．小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么新知識？你是怎樣學(xué)習(xí)的？通過動手實驗發(fā)現(xiàn)了等底等高的圓錐與圓柱之間的體積關(guān)系，并由此推導(dǎo)出了圓錐體積的計算公式。同學(xué)們學(xué)得都很認真，下面老師還要請同學(xué)們來動腦筋：

　　要使等底等高的圓柱與圓錐體積相等，你有什么辦法？（生講師課件演示）

　�。�1）把圓錐的高（或底面積）擴大3倍，使圓錐的體積擴大3倍，與圓柱的體積相等。

　�。�2）把圓柱的高（或底面積）縮小3倍，使圓柱的體積縮小3倍，與圓錐的體積相等。

　　[評析：練習(xí)設(shè)計由淺入深，要求逐步提高，學(xué)生的思維也逐步得到發(fā)展。需要指出的是，練習(xí)設(shè)計不僅要從教材出發(fā)，還要從學(xué)生的實際出發(fā)，應(yīng)該避免不切合學(xué)生實際的盲目拔高現(xiàn)象。在本課結(jié)尾時，教師運用電教媒體，動態(tài)展示底面積和高變化的情況，變想象為直觀，難點得到突破，學(xué)生興趣盎然，留下精彩回味。]

　　四、作業(yè)

　　[總評：本課力圖摒棄由教師講、學(xué)生聽的傳統(tǒng)教學(xué)模式，學(xué)習(xí)采用了以生活實際為中心，師生互動“做數(shù)學(xué)”的新教學(xué)模式，并取得了初步成效。教學(xué)活動中學(xué)生的主體地位得到加強：從發(fā)現(xiàn)問題到確定研究方法，從選擇實驗材料到推出計算公式都由學(xué)生參與得到。教師的主導(dǎo)作用也得到充分發(fā)揮；從創(chuàng)設(shè)情境、穿針引線到啟發(fā)引導(dǎo)、查漏補缺，不失時機地把教學(xué)活動一波一波地推向高潮。

　　全課教學(xué)設(shè)計結(jié)構(gòu)嚴謹、條理清楚。既抓住了知識的整體落實、更注意了學(xué)生能力的培養(yǎng)，還不放過細微環(huán)節(jié)的科學(xué)處理，是一節(jié)基礎(chǔ)扎實、效果良好、具有新意的好課。]

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